فعالیت الف محاسبه حد توابع سینوس و کسینوس حسابان یازدهم
نمودارهای توابع $f(x) = \sin x$ و $g(x) = \cos x$ در زیر رسم شدهاند.
الف) مقدار حدهای زیر را بیابید.
۱) $\lim_{x \to \frac{\pi}{۶}} \sin x = \dots$
۲) $\lim_{x \to \pi} \sin x = \dots$
۳) $\lim_{x \to \frac{\pi}{۶}} \cos x = \dots$
۴) $\lim_{x \to \pi} \cos x = \dots$
پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت الف صفحه ۱۳۷ حسابان یازدهم
سلام! برای توابع **سینوس** و **کسینوس**، چون توابعی **پیوسته** هستند، حد در هر نقطه برابر با **مقدار تابع در آن نقطه** است (جایگذاری مستقیم). 🧠
---
### ۱) $\lim_{x \to \frac{\pi}{۶}} \sin x$
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{۶}} \sin x = \sin(\frac{\pi}{۶}) = \mathbf{\frac{۱}{۲}}$$
---
### ۲) $\lim_{x \to \pi} \sin x$
$$\lim_{x \to \pi} \sin x = \sin(\pi) = \mathbf{۰}$$
---
### ۳) $\lim_{x \to \frac{\pi}{۶}} \cos x$
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{۶}} \cos x = \cos(\frac{\pi}{۶}) = \mathbf{\frac{\sqrt{۳}}{۲}}$$
---
### ۴) $\lim_{x \to \pi} \cos x$
$$\lim_{x \to \pi} \cos x = \cos(\pi) = \mathbf{-۱}$$
فعالیت ب بررسی تساوی حد و مقدار تابع سینوس حسابان یازدهم
ب) آیا مقدار حد تابع $f(x) = \sin x$ در $\frac{\pi}{۶}$ با مقدار $\sin (\frac{\pi}{۶})$ برابر است؟
پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ب صفحه ۱۳۷ حسابان یازدهم
سلام! این سوال، مفهوم **پیوستگی** تابع سینوس را در نقطه $\mathbf{x = \frac{\pi}{۶}}$ بررسی میکند. 💡
---
### بررسی تساوی حد و مقدار تابع
1. **مقدار حد**: از قسمت الف داریم:
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{۶}} \sin x = \mathbf{\frac{۱}{۲}}$$
2. **مقدار تابع**:
$$\sin (\frac{\pi}{۶}) = \mathbf{\frac{۱}{۲}}$$
**نتیجه**: چون $\mathbf{\frac{۱}{۲} = \frac{۱}{۲}}$ است، $\mathbf{بله}$، مقدار حد تابع $\sin x$ در $\frac{\pi}{۶}$ با مقدار $\sin (\frac{\pi}{۶})$ **برابر است**.
**دلیل**: تابع $\mathbf{f(x) = \sin x}$ در تمام دامنه خود ($\mathbb{R}$) **پیوسته** است، بنابراین حد آن در هر نقطه برابر با مقدار تابع در آن نقطه است.
فعالیت پ بررسی تساوی حد و مقدار تابع کسینوس حسابان یازدهم
پ) آیا مقدار حد تابع $g(x) = \cos x$ در $\frac{\pi}{۶}$ با مقدار $\cos (\frac{\pi}{۶})$ برابر است؟
پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت پ صفحه ۱۳۷ حسابان یازدهم
سلام! این سوال، مفهوم **پیوستگی** تابع کسینوس را در نقطه $\mathbf{x = \frac{\pi}{۶}}$ بررسی میکند. 💡
---
### بررسی تساوی حد و مقدار تابع
1. **مقدار حد**: از قسمت الف داریم:
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{۶}} \cos x = \mathbf{\frac{\sqrt{۳}}{۲}}$$
2. **مقدار تابع**:
$$\cos (\frac{\pi}{۶}) = \mathbf{\frac{\sqrt{۳}}{۲}}$$
**نتیجه**: چون $\mathbf{\frac{\sqrt{۳}}{۲} = \frac{\sqrt{۳}}{۲}}$ است، $\mathbf{بله}$، مقدار حد تابع $\cos x$ در $\frac{\pi}{۶}$ با مقدار $\cos (\frac{\pi}{۶})$ **برابر است**.
**دلیل**: تابع $\mathbf{g(x) = \cos x}$ در تمام دامنه خود ($\mathbb{R}$) **پیوسته** است، بنابراین حد آن در هر نقطه برابر با مقدار تابع در آن نقطه است.
